Komplexné čísla

Binomické rovnice v ℂ

Riešenie zⁿ = a a pravidelný mnohouholník koreňov

  • Vysoká škola
  • asi 5 min
  • 18. z 18 v okruhu
Nezačaté
ReImz₀z₁z₂z₃z₄ⁿ√|a| = 1.000

Parametre rovnice zⁿ = a

z5=1.00z^{5} = 1.00
a=1 (cos⁡0°+isin⁡0°)a = 1\,(\cos 0° + i\sin 0°)

Všeobecné riešenie:

zk=15(cos⁡0°+360°k5+isin⁡0°+360°k5)z_k = \sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{0° + 360°k}{5} + i\sin\frac{0° + 360°k}{5}\right)

k = 0, 1, …, 4

5 riešení:

z0 = 1.00∠0°
z1 = 0.31 + 0.95i∠72°
z2 = -0.81 + 0.59i∠144°
z3 = -0.81 − 0.59i∠216°
z4 = 0.31 − 0.95i∠288°

Rovnica zⁿ = a má presne n riešení. Všetky ležia na kružnici s polomerom ⁿ√|a| a tvoria pravidelný 5-uholník. Susedné korene sú od seba vzdialené o uhol 360°/5 = 72.0°.